高中數(shù)學等差數(shù)列教案

時間：2022-12-30 11:27:20 高中數(shù)學教案我要投稿

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　　作為一名辛苦耕耘的教育工作者，就有可能用到教案，通過教案準備可以更好地根據(jù)具體情況對教學進程做適當?shù)谋匾恼{(diào)整。來參考自己需要的教案吧！以下是小編為大家整理的高中數(shù)學等差數(shù)列教案，僅供參考，歡迎大家閱讀。

高中數(shù)學等差數(shù)列教案

高中數(shù)學等差數(shù)列教案1

　　一、教材分析

　　1、教學目標：

　　A．理解并掌握等差數(shù)列的概念；了解等差數(shù)列的通項公式的推導過程及思想；

　　B．培養(yǎng)學生觀察、分析、歸納、推理的能力；在領(lǐng)會函數(shù)與數(shù)列關(guān)系的前提下，把研究函數(shù)的方法遷移來研究數(shù)列，培養(yǎng)學生的知識、方法遷移能力；通過階梯性練習，提高學生分析問題和解決問題的能力。

　　C 通過對等差數(shù)列的研究，培養(yǎng)學生主動探索、勇于發(fā)現(xiàn)的求知精神；養(yǎng)成細心觀察、認真分析、善于總結(jié)的良好思維習慣。

　　2、教學重點和難點

　�、俚炔顢�(shù)列的概念。

　�、诘炔顢�(shù)列的通項公式的推導過程及應用。用不完全歸納法推導等差數(shù)列的通項公式。

　　二、教法分析

　　采用啟發(fā)式、討論式以及講練結(jié)合的教學方法，通過問題激發(fā)學生求知欲，使學生主動參與數(shù)學實踐活動，以獨立思考和相互交流的形式，在教師的指導下發(fā)現(xiàn)、分析和解決問題。

　　三、教學程序

　　本節(jié)課的教學過程由（一）復習引入（二）新課探究（三）應用例解（四）反饋練習（五）歸納小結(jié)（六）布置作業(yè)，六個教學環(huán)節(jié)構(gòu)成。

　　(一)復習引入：

　　1.全國統(tǒng)一鞋號中成年女鞋的各種尺碼（表示鞋底長，單位是c）分別是

　　21，22，23，24，25，

　　2.某劇場前10排的座位數(shù)分別是：

　　38，40，42，44，46，48，50，52，54，56。

　　3．某長跑運動員7天里每天的訓練量（單位：）是：

　　7500，8000，8500，9000，9500，10000，10500。

　　共同特點：

　　從第2項起，每一項與前一項的.差都等于同一個常數(shù)。

　　(二) 新課探究

　　1、給出等差數(shù)列的概念：

　　如果一個數(shù)列,從第二項開始它的每一項與前一項之差都等于同一常數(shù)，這個數(shù)列就叫等差數(shù)列, 這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d來表示。強調(diào)：

　　① “從第二項起”滿足條件；

　　②公差d一定是由后項減前項所得；

　�、酃羁梢允钦龜�(shù)、負數(shù)，也可以是0。

　　2、推導等差數(shù)列的通項公式

　　若等差數(shù)列{an }的首項是 ,公差是d, 則據(jù)其定義可得：

　　- =d 即： = +d

　　– =d 即： = +d = +2d

　　– =d 即： = +d = +3d

　　進而歸納出等差數(shù)列的通項公式：

　　= +(n-1)d

　　此時指出：

　　這種求通項公式的辦法叫不完全歸納法，這種導出公式的方法不夠嚴密，為了培養(yǎng)學生嚴謹?shù)膶W習態(tài)度，在這里向?qū)W生介紹另外一種求數(shù)列通項公式的辦法------迭加法：

　　– =d

　　將這（n-1）個等式左右兩邊分別相加,就可以得到 – = (n-1) d即 = +(n-1) d

　　當n=1時，上面等式兩邊均為，即等式也是成立的，這表明當n∈ 時上面公式都成立，因此它就是等差數(shù)列{an }的通項公式。

　　接著舉例說明：若一個等差數(shù)列｛｝的首項是１，公差是２，得出這個數(shù)列的通項公式是： =1+(n-1)×2 ，即 =2n-1 以此來鞏固等差數(shù)列通項公式運用

　�。ㄈ⿷门e例

　　這一環(huán)節(jié)是使學生通過例題和練習，增強對通項公式含義的理解以及對通項公式的運用，提高解決實際問題的能力。通過例1和例2向?qū)W生表明：要用運動變化的觀點看等差數(shù)列通項公式中的、d、n、這4個量之間的關(guān)系。當其中的部分量已知時，可根據(jù)該公式求出另一部分量。

　　例1 （1）求等差數(shù)列8，5，2，…的第20項；

　　（2）-401是不是等差數(shù)列-5，-9，-13，…的項？如果是，是第幾項？

　　第二問實際上是求正整數(shù)解的問題，而關(guān)鍵是求出數(shù)列的通項公式

　　例2 在等差數(shù)列｛an｝中，已知 =10， =31，求首項與公差d。

　　在前面例1的基礎上將例2當作練習作為對通項公式的鞏固

　　例3 梯子的最高一級寬33c，最低一級寬110c，中間還有10級，各級的寬度成等差數(shù)列。計算中間各級的寬度。

　　(四)反饋練習

　　1、小節(jié)后的練習中的第1題和第2題（要求學生在規(guī)定時間內(nèi)完成）。目的：使學生熟悉通項公式，對學生進行基本技能訓練。

　　2、若數(shù)列{ } 是等差數(shù)列,若 = ，（為常數(shù)）試證明：數(shù)列{ }是等差數(shù)列

　　此題是對學生進行數(shù)列問題提高訓練，學習如何用定義證明數(shù)列問題同時強化了等差數(shù)列的概念。

　�。ㄎ澹w納小結(jié) （由學生總結(jié)這節(jié)課的收獲）

　　1.等差數(shù)列的概念及數(shù)學表達式．

　　強調(diào)關(guān)鍵字：從第二項開始它的每一項與前一項之差都等于同一常數(shù)

　　2.等差數(shù)列的通項公式 = +(n-1) d會知三求一

　　(六) 布置作業(yè)

　　必做題：課本P114 習題3.2第2，6 題

　　選做題：已知等差數(shù)列{ }的首項 = -24，從第10項開始為正數(shù)，求公差d的取值范圍。（目的：通過分層作業(yè)，提高同學們的求知欲和滿足不同層次的學生需求）

　　四、板書設計

　　在板書中突出本節(jié)重點，將強調(diào)的地方如定義中，“從第二項起”及“同一常數(shù)”等幾個字用紅色粉筆標注，同時給學生留有作題的地方，整個板書充分體現(xiàn)了精講多練的教學方法。

高中數(shù)學等差數(shù)列教案2

　　一、知識與技能

　　1.了解公差的概念，明確一個數(shù)列是等差數(shù)列的限定條件，能根據(jù)定義判斷一個數(shù)列是等差數(shù)列;

　　2.正確認識使用等差數(shù)列的各種表示法，能靈活運用通項公式求等差數(shù)列的首項、公差、項數(shù)、指定的項.

　　二、過程與方法

　　1.通過對等差數(shù)列通項公式的推導培養(yǎng)學生：的觀察力及歸納推理能力；

　　2.通過等差數(shù)列變形公式的教學培養(yǎng)學生：思維的深刻性和靈活性.

　　三、情感態(tài)度與價值觀

　　通過等差數(shù)列概念的歸納概括，培養(yǎng)學生：的觀察、分析資料的能力，積極思維，追求新知的創(chuàng)新意識.

　　教學過程

　　導入新課

　　師：上兩節(jié)課我們學習了數(shù)列的定義以及給出數(shù)列和表示數(shù)列的幾種方法——列舉法、通項公式、遞推公式、圖象法.這些方法從不同的角度反映數(shù)列的特點.下面我們看這樣一些數(shù)列的例子：(課本P41頁的4個例子)

　　(1)0，5，10，15，20，25，…;

　　(2)48，53，58，63，…;

　　(3)18，15.5，13，10.5，8，5.5…;

　　(4)10 072，10 144，10 216，10 288，10 366，….

　　請你們來寫出上述四個數(shù)列的第7項.

　　生：第一個數(shù)列的第7項為30，第二個數(shù)列的第7項為78，第三個數(shù)列的第7項為3，第四個數(shù)列的第7項為10 510.

　　師：我來問一下，你依據(jù)什么寫出了這四個數(shù)列的第7項呢?以第二個數(shù)列為例來說一說.

　　生：這是由第二個數(shù)列的后一項總比前一項多5，依據(jù)這個規(guī)律性我得到了這個數(shù)列的第7項為78.

　　師：說得很有道理!我再請同學們仔細觀察一下，看看以上四個數(shù)列有什么共同特征？我說的是共同特征.

　　生：1每相鄰兩項的差相等，都等于同一個常數(shù).

　　師：作差是否有順序，誰與誰相減？

　　生：1作差的順序是后項減前項，不能顛倒.

　　師：以上四個數(shù)列的共同特征：從第二項起，每一項與它前面一項的差等于同一個常數(shù)(即等差)；我們給具有這種特征的數(shù)列起一個名字叫——等差數(shù)列.

　　這就是我們這節(jié)課要研究的內(nèi)容.

　　推進新課

　　等差數(shù)列的定義：一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它前一項的差等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)就叫做等差數(shù)列的公差(常用字母“d”表示).

　�。�1）公差d一定是由后項減前項所得，而不能用前項減后項來求；

　　（2）對于數(shù)列{an}，若an-a n-1=d(與n無關(guān)的數(shù)或字母)，n≥2，n∈N*，則此數(shù)列是等差數(shù)列，d叫做公差.

　　師：定義中的關(guān)鍵字是什么?(學生：在學習中經(jīng)常遇到一些概念，能否抓住定義中的關(guān)鍵字，是能否正確地、深入的理解和掌握概念的重要條件，更是學好數(shù)學及其他學科的重要一環(huán).因此教師：應該教會學生：如何深入理解一個概念，以培養(yǎng)學生：分析問題、認識問題的能力)

　　生：從“第二項起”和“同一個常數(shù)”.

　　師：：很好！

　　師：請同學們思考：數(shù)列(1)、(2)、(3)、(4)的通項公式存在嗎？如果存在，分別是什么？

　　生：數(shù)列(1)通項公式為5n-5，數(shù)列(2)通項公式為5n+43，數(shù)列(3)通項公式為2.5n-15.5，….

　　師：好，這位同學用上節(jié)課學到的知識求出了這幾個數(shù)列的通項公式，實質(zhì)上這幾個通項公式有共同的特點，無論是在求解方法上，還是在所求的結(jié)果方面都存在許多共性，下面我們來共同思考.

　�。酆献魈骄浚�

　　等差數(shù)列的通項公式

　　師：等差數(shù)列定義是由一數(shù)列相鄰兩項之間關(guān)系而得到的，若一個等差數(shù)列{an}的首項是a1，公差是d，則據(jù)其定義可得什么?

　　生：a2-a1=d,即a2=a1+d.

　　師：對，繼續(xù)說下去!

　　生：a3-a2=d,即a3=a2+d=a1+2d;

　　a4-a3=d,即a4=a3+d=a1+3d;

　　……

　　師：好！規(guī)律性的東西讓你找出來了，你能由此歸納出等差數(shù)列的通項公式嗎?

　　生：由上述各式可以歸納出等差數(shù)列的通項公式是an=a1+(n-1)d.

　　師：很好!這樣說來，若已知一數(shù)列為等差數(shù)列，則只要知其首項a1和公差d，便可求得其通項an了.需要說明的是：此公式只是等差數(shù)列通項公式的猜想，你能證明它嗎?

　　生：前面已學過一種方法叫迭加法，我認為可以用.證明過程是這樣的：

　　因為a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,…,an-an-1=d.將它們相加便可以得到：an=a1+(n-1)d.

　　師：太好了!真是活學活用啊!這樣一來我們通過證明就可以放心使用這個通項公式了.

　　［教師：精講］

　　由上述關(guān)系還可得：am=a1+(m-1)d,

　　即a1=am-(m-1)d.

　　則an=a1+(n-1)d=am-(m-1)d+(n-1)d=am+(n-m)d,

　　即等差數(shù)列的第二通項公式an=am+(n-m)d.(這是變通的通項公式)

　　由此我們還可以得到.

　�。劾}剖析］

　　【例1】（1）求等差數(shù)列8，5，2,…的第20項;

　�。�2）-401是不是等差數(shù)列-5，-9，-13…的項？如果是，是第幾項？

　　師：這個等差數(shù)列的首項和公差分別是什么?你能求出它的第20項嗎?

　　生：1這題太簡單了!首項和公差分別是a1=8,d=5-8=2-5=-3.又因為n=20，所以由等差數(shù)列的通項公式，得a20=8+(20-1)×(-3)=-49.

　　師：好!下面我們來看看第（2）小題怎么做.

　　生：2由a1=-5,d=-9-(-5)=-4得數(shù)列通項公式為an=-5-4(n-1).

　　由題意可知，本題是要回答是否存在正整數(shù)n，使得-401=-5-4(n-1)成立,解之,得n=100，即-401是這個數(shù)列的`第100項.

　　師：剛才兩個同學將問題解決得很好，我們做本例的目的是為了熟悉公式，實質(zhì)上通項公式就是an,a1,d,n組成的方程(獨立的量有三個).

　　說明:(1)強調(diào)當數(shù)列｛an｝的項數(shù)n已知時，下標應是確切的數(shù)字；(2)實際上是求一個方程的正整數(shù)解的問題.這類問題學生：以前見得較少，可向?qū)W生：著重點出本問題的實質(zhì)：要判斷-401是不是數(shù)列的項，關(guān)鍵是求出數(shù)列的通項公式an，判斷是否存在正整數(shù)n，使得an=-401成立.

　　【例2】已知數(shù)列{an}的通項公式an=pn+q，其中p、q是常數(shù)，那么這個數(shù)列是否一定是等差數(shù)列？若是，首項與公差分別是什么？

　　例題分析：

　　師：由等差數(shù)列的定義，要判定{an}是不是等差數(shù)列，只要根據(jù)什么?

　　生：只要看差an-an-1(n≥2)是不是一個與n無關(guān)的常數(shù).

　　師：說得對，請你來求解.

　　生：當n≥2時，〔取數(shù)列{an}中的任意相鄰兩項an-1與an(n≥2)〕

　　an-an-1=(pn+1)-［p(n-1)+q］=pn+q-(pn-p+q)=p為常數(shù),

　　所以我們說{an}是等差數(shù)列，首項a1=p+q，公差為p.

　　師：這里要重點說明的是：

　　(1)若p=0，則{an}是公差為0的等差數(shù)列，即為常數(shù)列q，q，q，….

　　(2)若p≠0，則an是關(guān)于n的一次式，從圖象上看，表示數(shù)列的各點(n，an)均在一次函數(shù)y=px+q的圖象上，一次項的系數(shù)是公差p，直線在y軸上的截距為q.

　　(3)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是其通項an=pn+q(p、q是常數(shù))，稱其為第3通項公式.課堂練習

　　(1)求等差數(shù)列3，7，11，…的第4項與第10項.

　　分析：根據(jù)所給數(shù)列的前3項求得首項和公差，寫出該數(shù)列的通項公式，從而求出所┣笙.

　　解：根據(jù)題意可知a1=3，d=7-3=4.∴該數(shù)列的通項公式為an=3+(n-1)×4，即an=4n-1(n≥1，n∈N*).∴a4=4×4-1=15，a 10=4×10-1=39.

　　評述：關(guān)鍵是求出通項公式.

　　(2)求等差數(shù)列10，8，6，…的第20項.

　　解：根據(jù)題意可知a1=10，d=8-10=-2.

　　所以該數(shù)列的通項公式為an=10+(n-1)×(-2)，即an=-2n+12，所以a20=-2×20+12=-28.

　　評述：要求學生：注意解題步驟的規(guī)范性與準確性.

　　(3)100是不是等差數(shù)列2，9，16，…的項？如果是，是第幾項？如果不是，請說明理由.

　　分析：要想判斷一個數(shù)是否為某一個數(shù)列的其中一項，其關(guān)鍵是要看是否存在一個正整數(shù)n值，使得an等于這個數(shù).

　　解：根據(jù)題意可得a1=2，d=9-2=7.因而此數(shù)列通項公式為an=2+(n-1)×7=7n-5.

　　令7n-5=100，解得n=15.所以100是這個數(shù)列的第15項.

　　(4)-20是不是等差數(shù)列0，，-7，…的項？如果是，是第幾項？如果不是，請說明理由.

　　解：由題意可知a1=0，,因而此數(shù)列的通項公式為.

　　令，解得.因為沒有正整數(shù)解，所以-20不是這個數(shù)列的項.

　　課堂小結(jié)

　　師：（1）本節(jié)課你們學了什么？（2）要注意什么？（3）在生：活中能否運用？(讓學生：反思、歸納、總結(jié),這樣來培養(yǎng)學生：的概括能力、表達能力)

　　生：通過本課時的學習，首先要理解和掌握等差數(shù)列的定義及數(shù)學表達式a n-a n-1=d(n≥2);其次要會推導等差數(shù)列的通項公式an=a1+(n-1)d(n≥1).

高中數(shù)學等差數(shù)列教案3

　　教學目標

　　1.通過教與學的互動，使學生加深對等差數(shù)列通項公式的認識，能參與編擬一些簡單的問題，并解決這些問題；

　　2.利用通項公式求等差數(shù)列的項、項數(shù)、公差、首項，使學生進一步體會方程思想；

　　3.通過參與編題解題，激發(fā)學生學習的興趣.

　　教學重點，難點

　　教學重點是通項公式的認識；教學難點是對公式的靈活運用．

　　教學用具

　　實物投影儀，多媒體軟件，電腦.

　　教學方法

　　研探式.

　　教學過程

　　一.復習提問

　　前一節(jié)課我們學習了等差數(shù)列的概念、表示法，請同學們回憶等差數(shù)列的定義，其表示法都有哪些？

　　等差數(shù)列的概念是從相鄰兩項的關(guān)系加以定義的，這個關(guān)系用遞推公式來表示比較簡單，但我們要圍繞通項公式作進一步的理解與應用.

　　二.主體設計

　　通項公式反映了項與項數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系，當?shù)炔顢?shù)列的首項與公差確定后，數(shù)列的每一項便確定了，可以求指定的'項（即已知求）.找學生試舉一例如：“已知等差數(shù)列中，首項，公差，求.”這是通項公式的簡單應用，由學生解答后，要求每個學生出一些運用等差數(shù)列通項公式的題目，包括正用、反用與變用，簡單、復雜，定量、定性的均可，教師巡視將好題搜集起來，分類投影在屏幕上.

　　1.方程思想的運用

　�。�1）已知等差數(shù)列中，首項，公差，則－397是該數(shù)列的第______項.

　�。�2）已知等差數(shù)列中，首項，則公差

　�。�3）已知等差數(shù)列中，公差，則首項

　　這一類問題先由學生解決，之后教師點評，四個量，在一個等式中，運用方程的思想方法，已知其中三個量的值，可以求得第四個量.

　　2.基本量方法的使用

　�。�1）已知等差數(shù)列中，，求的值.

　�。�2）已知等差數(shù)列中，，求.

　　若學生的題目只有這兩種類型，教師可以小結(jié)（最好請出題者、解題者概括）：因為已知條件可以化為關(guān)于和的二元方程組，所以這些等差數(shù)列是確定的，由和寫出通項公式，便可歸結(jié)為前一類問題.解決這類問題只需把兩個條件（等式）化為關(guān)于和的二元方程組，以求得和，和稱作基本量.

　　教師提出新的問題，已知等差數(shù)列的一個條件（等式），能否確定一個等差數(shù)列？學生回答后，教師再啟發(fā)，由這一個條件可得到關(guān)于和的二元方程，這是一個和的制約關(guān)系，從這個關(guān)系可以得到什么結(jié)論？舉例說明（例題可由學生或教師給出，視具體情況而定）.

　　如：已知等差數(shù)列中

　　由條件可得即，可知，這是比較顯然的，與之相關(guān)的還能有什么結(jié)論？若學生答不出可提示，一定得某一項的值么？能否與兩項有關(guān)？多項有關(guān)？由學生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，完善問題

　�。�3）已知等差數(shù)列中，求

　　類似的還有

　�。�4）已知等差數(shù)列中，求的值.

　　以上屬于對數(shù)列的項進行定量的研究，有無定性的判斷？引出

　　3.研究等差數(shù)列的單調(diào)性

　　，考察隨項數(shù)的變化規(guī)律.著重考慮的情況.此時是的一次函數(shù)，其單調(diào)性取決于的符號，由學生敘述結(jié)果.這個結(jié)果與考察相鄰兩項的差所得結(jié)果是一致的

　　4.研究項的符號

　　這是為研究等差數(shù)列前項和的最值所做的準備工作.可配備的題目如

　�。�1）已知數(shù)列的通項公式為，問數(shù)列從第幾項開始小于0？

　�。�2）等差數(shù)列從第________項起以后每項均為負數(shù).