公理無需證明

樓上說的有點(diǎn)小問題，我重新說一下：

公理是大家公認(rèn)為正確的，是不需要證明的。公理相當(dāng)于是一個(gè)最初的原材料，用公理才能證明定理。

定理是在公理基礎(chǔ)上出現(xiàn)的，他的地位比公理低一些，它是需要證明的。

而一旦某個(gè)定理被證明是正確的，那么它就可以用來證明其他的定理。

所以可想而知，在最初什么定理都沒被證明時(shí)，我們手上的“原材料”只有公理，因此這時(shí)想要證明某條定理只有完全用公理。而在這之后，那條被證明的定理也就加入了我們的“原材料”的行列，下次證明其他定理時(shí)就可以直接用了。

總結(jié)起來：

公理無條件成立。定理需要證明，在證明的過程中，可以用的工具是:公理和已經(jīng)被證明正確的定理。

至于公式只是用數(shù)學(xué)的語言描述的公理或定理，這樣表達(dá)起來比文字?jǐn)⑹龈�簡練，她本身并不是一個(gè)新事物，只是公理或定理的另一種表示而已。

2

三段論推理的公理是：對一類事物的全部有所肯定(否定)，則其中任何部份也有所肯定(否定)。公理或是為過去、現(xiàn)在人類實(shí)踐反復(fù)證明了其真實(shí)性的判斷，或其真實(shí)性雖無法證明，但已公認(rèn)為與現(xiàn)代科學(xué)知識無矛盾的命題。

在一些較為成熟的學(xué)科中，特別是數(shù)學(xué)、物理學(xué)、邏輯學(xué)中，人們常選擇一些不證自明的命題作為公理，這些公理是該門學(xué)科推演定理的基礎(chǔ)，是整個(gè)體系邏輯推理的依據(jù)，從它們出發(fā)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)耐蒲菀?guī)則，可以推出該體系的定理。由于它們是邏輯推理的出發(fā)點(diǎn)，自然也就表現(xiàn)為該門科學(xué)體系內(nèi)無法證明的東西。在一門科學(xué)中，以一些公理為基礎(chǔ)，運(yùn)用演繹推理推導(dǎo)出一系列定理，稱為公理法或公理方法。運(yùn)用這種方法建立起來的科學(xué)理論，稱為公理體系或公理系統(tǒng)。

3

其實(shí)公理是不需要證明的。我們平時(shí)所學(xué)是歐幾里得幾何，是在一套公理系統(tǒng)上建立起來的。比喻過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與它平行，在非歐幾何系統(tǒng)是可以無數(shù)條的。三條邊相等的三角形全等也是可以證明的。用反證法。假設(shè)兩三角形ABC、EFG對應(yīng)三邊相等，而三角不等，不妨設(shè)角B#角F，角C#角G (如不等時(shí)肯定有兩對角不等，因有兩對角相等時(shí)，第三對角也必相等，內(nèi)角和同為180度)。 由于BC=FG，我們移動(dòng)三角形EFG，使BC與FG重合，且A與G在BC的同一邊 角B#角F，角C#角G，連接AE，AE中心為H，邊BE、CE則三角形AEB(F)、AEC(G)都為等腰三角形，BE、CE分別為高，過同一點(diǎn)H有兩條不同直線垂直于AE，矛盾故原假設(shè)不對原命題成立，即三邊相等的三角形全等。

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