《倒數認識》教學實錄

《倒數認識》教學實錄1

　　一、揭示倒數的意義

　　師：前面我們學習了分數乘法，請同學們拿出聽算本，我們聽算幾道題。

　　師：第一題：3/88/3…第二題：7/1515/7…第三題：31/3…第四題：1/8080……

　　生：笑……

　　師：有些同學在下面偷偷地笑了！你們笑什么呀？

　　生：（齊）太簡單了！乘積都是1！……

　　師：對，今天我們要研究的就是乘積是1的兩個數。你們還能寫出乘積是1的兩個數嗎？

　　生：（齊）能！

　　師：那好，我們就進行一個小小的比賽。請大家準備好課堂練習本，我給大家一分鐘的時間，請你寫出乘積是1的任意兩個數，看誰寫得多，而且能寫出不同的類型。

　　準備好了嗎？開始……

　　師：一分鐘到，停！誰愿意把你寫的念出來，和大家共同分享？

　　生1：2/99/2=1，51/5=1，3/1010/3=1，1/7070=1，0.254=1，0.1258=1，0.110=1，0.01100=1

　　師有選擇的板書在黑板上。

　　師：這么短的時間內就能寫出這么多乘積是1的兩個數，還是幾種不同的類型，不錯。

　　生：（搶著說）我還有更多的……

　　生2：11=1，0.254=1，0.1258=1，1/22=1，1/33=1，1/44=1，

　　1/55=1，1/66=1，1/77=1，1/88=1，1/99=1

　　師：太厲害了！如果給你們充足的時間，你們還能寫多少個這樣的乘法算式？（無數個）

　　不過我比你們更厲害。我不但能寫出這么多算式，而且還能猜出你們寫的是什么？信不信？不信？只要你說出你寫的第一個數，我就能猜出你寫的第二個數是什么？

　　學生在下面竊竊私語。有說我也會的，也有說不信的……

　　師：你要能猜出來，也可以來試一試呀。

　　生1：老師，我請你猜。

　　師：好。

　　生1：我寫的第一個數是4。

　　師：那你寫的第二個數是1/4。

　　生1：不對，我寫的是0.25。

　　師：是嗎，1/4和0.25相等呀。

　　生2：老師，我也請你猜。

　　師：都來為難我了！

　　生2：我寫的第一個數是10/8。

　　師：那你寫的第二個數是8/10或是0.8。

　　生2：老師，你沒化成最簡分數呀！

　　師：你的也不是最簡分數呀。

　　師：你們也能猜嗎？

　　生（齊說）：能。

　　師：為什么能猜到？

　　生：因為這兩個數的乘積是1。

　　師：對，你們所寫的這兩個數的乘積都是1。像這樣的乘積是1的兩個數，我們把它稱之為互為倒數。

　　教師板書：乘積是1的兩個數叫做互為倒數。生齊讀。

　　師：黑板上所寫的兩個數的積都是1，所以他們互為倒數。比如2/9和9/2和乘積是1，我們就說2/9和9/2互為倒數。（師板書2/9和9/2互為倒數）

　　師：為什么乘積是1的兩個數不直接說是倒數，而要說“互為”倒數呢？“互為”是什么意思呢？你是怎樣理解這兩個字？

　　生1：“互為”是指兩個數的關系。

　　生2：“互為”說明這兩個數的關系是相互依存的。

　　生3：我舉個例子來說，比如“2/9和9/2互為倒數”就是說2/9是9/2的倒數，9/2是2/9的倒數。

　　師：同學們說得很好。倒數是表示兩個數之間的關系，它們是相互依存的，所以必須說清一個數是另一個數的倒數，而不能孤立地說某一個數是倒數。以前我們學過這種兩數間相互依存關系的知識嗎？

　　生：學過，約數和倍數。比如：15是3的倍數，3是15的約數。

　　師：對，我們今天學習的倒數與約數、倍數一樣都是表示兩個數之間的關系，必須是相互依存，而不能獨立地存在。

　　師：5和1/5的積是1，我們就說……（生齊說）

　　師：0.254=1，這兩個數的關系可以怎么說？

　　生1：0.25的倒數是4，4的倒數是0.25。

　　生2：這兩個數不是分數，好像不可以說它們互為倒數？

　　師：可以嗎？

　　生：可以，因為乘積是1的兩個數叫做互為倒數，這兩個數的乘積也是1。

　　師強調只要是乘積是1的兩個數都是互為倒數。

　　師：看來同學們學得不錯�，F在老師要考考大家，是不是真正理解了倒數的意義。

　　1、判斷：

　�。�1）得數是1的兩個數叫做互為倒數。

　�。�2）因為101/10=1，所以10是倒數，1/10是倒數。

　�。�3）因為1/4+3/4=1，所以1/4是3/4的倒數。

　　2、展臺出示練習十T1、T2，口答。

　�。═1：3/4（）=17（）=1

　　T2：下面哪兩個數互為倒數？

　　4/37/686/73/41/8)

　　二、探索求一個倒數的'方法

　　師：非常好！我們知道了倒數的意義，那么互為倒數的兩個數有什么特點呢？我們一起來觀察一下剛才的這些例子。

　　生1：互為倒數的兩個數分子和分母調換了位置。

　　師：同意嗎？

　　生：同意。

　　師：分子和分母調換了位置，（師指黑板）相乘時分子分母就可以完全約分，得到乘積是1。那么0.25和4呢，好像沒有這一特點呀？

　　生：如果把0.25化成分數就是1/4，4就可以看成4/1，分子和分母也調換了位置。

　　生：老師，如果分子是0的話，怎么辦？

　　師：這個問題我們記著，待會解答好嗎？

　　生：好

　　師：根據這一特點你能寫出一個數的倒數嗎？

　　生：能

　　師：試一試！

　　師在黑板上出示3/57/2，寫出它們的倒數。

　　生匯報，并匯報寫的方法。

　　師生一起小結：求一個數的倒數，只要把分子分母調換位置。（板書）

　　師：那18的倒數是什么？它可是沒有分子和分母呀？

　　生：把18看成是分母是1的分數，再把分子分母調換位置。

　　師根據學生的回答及時板書。

　　師：那1又2/7的倒數呢？

　　生思考。

　　生1：1又2/7的倒數是1又7/2。

　　生2：不對，要先把1又2/7化成假分數9/7，再交換位置。1又2/7的倒數是7/9。

　　師：哪個答案才是正確的呢？

　　我們一起來檢驗檢驗。

　　怎么檢驗呢？（生齊說看它們的乘積是不是1。）

《倒數認識》教學實錄2

　　1．揭示課題

　　師：今天我們學習倒數的認識。(板書：倒數的認識)你們看了這個課題后，想知道什么？

　　生1：倒數是什么東西？

　　師：倒數不是什么東西，而應該是什么知識？(同學們輕輕地笑了)

　　生2：數怎樣倒法？

　　生3：是不是只有分數有倒數？

　　師：也就是說，同學們想知道倒數的意義和有關方法。

　　教師板書：意義、方法。

　　師：倒數的意義和有關方法課本上都有，我們一看就知道了。重要的是我們在學習中要有自己的發(fā)現。我相信你們。

　　教師板書：發(fā)現(用另一種顏色的粉筆寫)。

　�。墼u析：一上課就揭示課題，開門見山，有利于在一節(jié)課的最佳時域直奔重點，突破難點。教師只有確立以學生為本的理念，充分了解學生的學習起點和學習疑難癥結，把握學生跳動的脈搏，才能有針對性地下功夫。］

　�。鄯此迹赫n始直奔主題，一是可節(jié)省教學時間，把更多的時間讓給學生去思考、去討論。二是對本節(jié)課的舊知識學生幾乎不存在什么計算上的問題。同時，由于是借班上課，我想降低課始的起點，使學生產生安全的心理，全身心投入學習。］

　　2．初步理解倒數的意義

　　(1)自學課本。

　　師：請大家在課本上找到倒數的意義，讀一讀。

　　學生打開課本，尋找倒數的意義，用筆劃詞句。

　　(2)復述意義。

　　師：請同學們合上書，誰能說說什么是倒數？

　　生1：乘積是1……

　　師：看來只讀一遍就要記住有一定的難度，誰再來說說？

　　生2：乘積是1的兩個數互為倒數。

　　教師板書：乘積是1的兩個數----

　　師：后面是什么，張老師忘了，誰來幫忙？

　　生3：互為倒數。

　　教師接著板書：互為倒數。

　�。墼u析：教師恰到好處地設置疑問，有利于學生層層深入地思考。同時，高明的教師有時假裝糊涂，把“聰明”讓給學生，“張老師忘了，誰來幫忙？”短短的話語滿足了學生求知探新的成功欲，這是促進學生有效學習的基本策略。這也是張老師課堂教學的一大特點，在下面的教學中還有不少類似的對話。］

　　(3)初步剖析意義。

　　師：我們讀的時候可以把這句話分成兩部分，你認為該怎么讀？

　　生1：乘積是1的兩個數／互為倒數。

　　生2：乘積是1的／兩個數互為倒數。

　　師：這兩種讀法究竟哪一種讀法好？同桌同學討論一下，并說說你的想法。

　　生3：乘積是1的兩個數／互為倒數。

　　師：為什么這樣讀？

　　生3：這樣讀很順。

　　師：你是怎樣讀的？

　　生4：乘積是1的／兩個數互為倒數。

　　師：同意這樣讀的同學請舉手�？磥�，女同學都支持第一種，男同學都支持第二種。我也支持第二種的讀法。

　　教師邊說邊板書：條件(在“乘積是1”的下面劃上紅線)、結論(在“兩個數互為倒數”的下面劃上紅線)。

　　師：因為有了“乘積是1”的條件，才有“兩個數互為倒數”的結論。

　　［反思：對倒數概念的兩種讀法，事后細想，還是第一位學生的讀法為好，因為“乘積是1”是“兩個數”的定語，把它們隔開不好，另外，這句話是省略了“它們”兩個字，完整的應是“乘積是1的兩個數，它們互為倒數”，前面是條件，后面是結論。］

　　3．深入探究倒數的意義

　　(1)示范舉例。

　　師：現在老師寫一個算式，大家看看是不是符合這句話的意義？

　　教師板書：4/5×5/4=1。（生：符合）

　　師：那你有什么結論？

　　生：4/5和5/4互為倒數。

　　教師板書：4/5和5/4互為倒數。

　　師：在條件前加兩個字……

　　教師板書：因為板書在4/5×5/4=1的前面。

　　師：有了因為，就有----

　　學生齊聲回答“所以”，教師板書：所以板書在4/5和5/4互為倒數的前面。

　　師：誰來把條件、結論完整地說一說？

　　生：因為4/5×5/4=1，所以4/5和5/4互為倒數。

　�。墼u析：常常發(fā)現六年級學生做作業(yè)寫倒數時，用這樣的形式表示“2/3=3/2”，誤認為等號左邊是已知條件的數據，等號右邊是所求的結果數據。教師的示范表述在這里顯得很有必要，這是規(guī)范學生表述的重要環(huán)節(jié)。］

　　(2)學生舉例。

　　師：每個學生寫一個這樣的算式，然后讓同桌的同學照樣子說一說。(學生練習)

　　師：你是怎么寫的，說說看？

　　生：因為2/7×7/2=1，所以2/7和7/2互為倒數。

　　(3)深入剖析意義。

　　①剖析“互為”的含義。(注：以下幾個層次都是以學生為主提出討論的，教師僅起到穿針引線的作用。小瓣題是在整理課堂實錄后另外加上去的。)

　　師：我們現在對倒數的意義有了一定的理解，不過還不夠深入�，F在請大家再認真讀一讀、想一想，你能對這句話中的某個字或某個詞理解得更深刻些，向大家解釋得更清楚一些嗎？

　�。鄯此迹簩τ诟拍畹�.教學，我們的老師大多比較輕視，認為讓學生讀一二遍記住就達到目的了。其實，這都是表面現象，根本不能促使學生數學思維品質的提高。所以，讓學生關注基礎知識本身，這是我們數學課不能丟的根本，也是實現新課程提出的三維目標的關鍵，重要的是讓學生在掌握概念的過程中，學會數學思考，體會解決問題所帶來的成功體驗。］

　　過了幾分鐘，陸續(xù)有五六位學生舉手。

　　師：已經有同學想來為大家解釋了，暫時沒有思考出結果的同學不要急，過一會兒在聽別人發(fā)言的時候，你一定會有所發(fā)現的�，F在誰來貢獻自己的成果？

　　生：“互為”就是分數的分子與分母是互質數。

　　師：是這樣嗎？我剛才看見有一位同學寫了這樣一個算式：4/6×6/4=1，分數中的4和6就不是互質數啊？但4/6與6/4是互為倒數，說明這位同學理解的互為不正確。不過這位同學能聯(lián)想到以前的舊知識，這是一種學習的方法，你還記得什么叫互質數嗎？

　　生：公約數只有1的兩個數是互質數。

　　教師板書：公約數只有1的兩個數是互質數。

　�。鄯此迹簩W生提出“互為”就是“互質數”的意思，這是我始料不及的。既然這是學生的直觀想法，那我們不能回避，所以我從另一個角度來“表揚”他，因為學生敢回答，就說明他在思考。另外，我們教師的提問，并不都是為了求得正確答案�。〔煌�的回答，甚至是錯誤的回答，我們處理好了，這就是教學中一種不可多得的資源。］

　　師：誰對“互為”有不同的解釋？

　　生：“互為”是互相成為一個關系，互為倒數是指這兩個數互相成為倒數關系。

　　師：你能根據具體的例子說一說嗎？

　　生：4/5是5/4的倒數，5/4是4/5的倒數。

　　教師板書：就是----

　　師：哎呀！老師忘了，怎么說？

　　生：4/5是5/4的倒數，5/4是4/5的倒數。

　　教師接著板書：4/5的倒數就是5/4，5/4的倒數就是4/5。

　　教師出示卡片：判斷：2和1/2都是倒數。()

　　師：誰來判斷一下這句話的正誤，請說明理由。

　　生1：錯了，1/2倒過來是2/1。

　　生2：對的，因為2可以化成2/1

　　師：剛才這兩位同學爭論的是這兩個數的形式，請大家再想一想，判斷一句話說得是否正確，應該怎樣想？

　　生3：應根據倒數的意義去判斷。

　　師：說得好。判斷一句話的正確與否，主要看實質，不能僅看表面形式。

　　生3：錯了。不能說“都是”，應該說出誰是誰的倒數。

　　生4：錯了，應該是2和1/2互為倒數。

　　②剖析“乘積是1”的含義。

　　師：誰再來解釋？

　　生：我想為大家解釋“乘積是1”，就是一個數乘一個數。

　　師：“我想為大家解釋”，這位同學非常好，愿意把自己的智慧貢獻出來與大家分享。

　　教師出示卡片：判斷：因為1/3+2/3=1，所以1/3和2/3互為倒數。()

　　生：錯了，因為不是乘積是1，而是和是1。

　　(4)探究求倒數的方法。

　　師：誰想再解釋嗎？

　　生：我想解釋4/5的倒數的分子就是4/5的分母，4/5的倒數的分母就是4/5的分子。

　　師：你的意思就是互為倒數的兩個數，分子、分母的----

　　生：分子、分母的位置對調一下。

　　教師板書：分子、分母調換位置。

　　師：你叫什么名字？(生齊說：陳瀟雨)你真了不起，有了自己的發(fā)現。

　　教師板書：陳瀟雨發(fā)現(板書在分子、分母調換位置的后面，用紅色粉筆書寫)。

　　教師板書：

　　師：你對老師畫的兩個箭頭，有什么想法？

　　生：5/4是4/5的倒數，但4/5也是5/4的倒數，所以不能只畫兩個箭頭。

　　師：所以，還要----

　　生：還要畫兩個箭頭。

　　教師在原來的線上加了兩個從右到左的箭頭。

　　師：你叫什么名字？（生齊說：周宇明）

　　教師板書：周宇明發(fā)現(板書在有箭頭式子的右邊)。

　�。鄯此迹涸谠瓉淼慕虒W設計中，求倒數的方法是在后面的，但現在學生提出來了，我就把這個環(huán)節(jié)提上來了，并從中得到啟發(fā)，再一次讓學生體會“互為”的意思。其實我們只要相信學生，給他們信念，農村孩子的表現照樣會令教師意想不到，這就是教學相長。］

　　(5)探索倒數的特例。

　　師：誰愿意把自己的智慧繼續(xù)與大家一起分享？

　　生1：我想解釋“兩個數”，就是兩個因數。

　　師：哈！“互為倒數”被別人解釋了，“乘積是1”也給別人解釋了，只有這“兩個數”了。這位同學的發(fā)言讓大家的注意力集中在“兩個數”了。誰有不同的想法？

　　生2：這兩個數是兩個分數，不是分數的可以化成分數，是整數的或小數的都可以化成分數。

　　師：成倒數的兩個數中，應該有幾個整數？

　　生3：兩個整數，不！不對，應該是一個整數。

　　師：誰能舉個例子？

　　生4：4×1/4=1。

　　生5：12×1/12=1。

　　師：他剛才先說兩個整數，有可能嗎？

　　生6：不可能，比如5×5=25。

　　師：(看見學生舉手，想發(fā)表不同意見，于是指名回答)你說呢！

　　生7：那1×1不是等于1嗎？確實是兩個整數啊。

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