中學數學教案設計

一元n次方程根與系數的關系教案設計

【教學目的】通過教學讓學生明確一元n次方程的根與系數的關系是一

元二次方程的根與系數關系的推廣，通過證明讓學生理解韋達定理的實質，

并會正確應用定理來解題。

【教學重點和難點】重點是根與系數的關系，難點是根與系數關系的

證明。

【教學過程】

一、復習提問

1.定理1及定理2的內容及作用。

定理1一元n次方程f(x)=0有一個根x=b的充要條件是多項式f(x)

有一個一次因式(x-b)。

定理2復系數一元n次方程f(x)=0在復數集中有且僅有n個根。

定理1指出尋求方程根的方法，而定理2只解決根的存在性及根的個數。

2.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根與系數之間有什么關系?如何

證明?

設二根為x1和x2，則根與系數間關系為：

x+x=-

b a

x x=

c a

1 2

1 2·稱韋達定理。`

ì

í

證明：若x1和x2是ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個根，則根據定理1得到

ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)�！遖≠0

∴x+()，對比系數得到：

b a

x+

c a

=x-x x+x x+x xx+x=-

b 2a 2

1 21 21 2

x x=

c a

n 12·，同理對一元次方程的根與系數之間仍存在這個關系。

二、引入新課

三、小結

韋達定理中諸關系式是n個n元方程，仍無法解出各根，故與解一元n

次方程是等價問題，只有給出了各根之間滿足的某些條件時，應用根與系數

的關系，才能求出方程的解集，在應用時注意符號的規(guī)律。這個定理的逆命

題也成立，即對于任何一元n次方程f(x)=anxn+an-1xn-1+?+a1x+a0=0如果

有n個數x1，x2，?，xn滿足諸關系式，那么x1，x2，?，xn一定是方程f

(x)=0的根。

四、作業(yè)

(王秋芳)

韋達定理的應用教案設計

【教學目的】讓學生進一步理解韋達定理的實質是反映出由n個根與系

數構成了n個n元方程組，與解一元n次方程是完全等價的問題。因而只利

用根與系數之關系并不能解決一元n次方程求根的問題。只有當給出了各根

之間滿足的某些條件時才能應用韋選定理求方程的解集。

【教學重點和難點】重點是韋達定理的應用，難點是靈活應用韋達定

理解綜合性題。

【教學過程】

一、復習提問

1.韋達定理及其作用。

2.已知方程x3+p1x2+p2x+p3=0，的根為α、β、γ，則由韋達定理，得

αβγ()

αβαγβγ()

αβγ()

++=-p 1

++=p 2

=-p 3

2 3

ì

í

下面解含α、β、γ的方程組，結果說明什么問題?

解：(1)×α2得α3+α2β+α2γ=-p1α2(4)

(2)×(-α)得-α2β-αβγ-α2γ=-αp2(5)

(3)+(4)+(5)得α3+p1α2+p2α+p3=0這個結果與原方程完全相同，

說明如果我們沒有辦法解出原方程時，同樣從這三個根與系數的關系仍不能

解出它的根來，只有當給出各根之間具有某種特殊關系時，應用根與系數之

關系才能求出方程的根。

二、引入新課--韋達定理的應用

三、小結

1.已知方程的根與系數具有某種關系時應用韋達定理轉化為解方程組的

問題求解，當未知數的個數少于方程組中方程個數時，要適當選擇方程組求

解，之后必須通過檢驗該解滿足余下的方程才是原方程的解。

2.應用韋達定理確定方程中的參數。

四、作業(yè)(略)

(王秋芳)

實系數方程虛根成對定理教案設計

【教學目的】掌握實系數方程虛根成對定理并會運用定理求實系數方程

在復數集C中的解集。

【教學重點和難點】重點是定理的正確應用：突出強調定理中的條件

是實系數方程；難點是定理的證明過程。

【教學過程】

一、復習提問

二、引入新課

三、小結

注意定理中的條件"實系數方程"必不可少，若為復系數方程則沒有"虛

根成對共軛出現"的結論，應用此定理解方程時要特別注意。

四、作業(yè)

1.復習實系數方程虛根成對定理。

2.求證實系數一元n次方程在n為奇數時有奇數個實根；在n為偶數時

有偶數個實根，或者沒有實根。[提示：應用實系數一元n次方程有且僅有n

個復數根，而且虛根是成對出現，說明虛根只能是偶數個(包括0個)，所

以當n為奇數時，由于奇數與偶數之差為奇數，從而有奇數個實根。當n為

偶數時，由于偶數與偶數之差仍為偶數，從而有偶數個實根(包括沒有實數

根)]

3.根據已知條件求下列方程在復數集C中解集。

(王秋芳)

復習總結二項式定理教案設計

【教學目的】

1.小結二項式定理，二項式系數的性質及它們的應用。

2.指導學生對本節(jié)的基本概念和基本公式進行總結和深化。

3.指導學生對本節(jié)的基本題型進行總結，提高解題能力。

【教學重點】有關重點概念和應用。

【教學過程】

一、復習總結有關概念

(可采取提問的方式)

(1)什么叫二項式定理，定理的實際含義是什么，公式的條件是什么。

(2)二項式的展開式的規(guī)律是什么?

(3)兩個重要常見的二項式的展開式是什么?

(4)下列二項式的展開式相同嗎?它們的通項相同嗎?

二、有關二項式定理的題型總結

(可采取提問)

(1)二項式定理的應用：

答：結合本節(jié)習題和補充題：可總結為它能解決下類題型：

①求展開式，

②近似計算，

③證明有關的整除問題，

④證明恒等式，

⑤證明有關的不等式。

(2)通項公式的應用：

答：它能解決下類題型：

①求展開式的某項，

②求含xr的項(當r=0時為常數項)，

③根據某種條件先求n或r；再求符合條件的某種項。

(3)二項式系數的性質的應用：

答：它能解決下類題型：

①有關中間項，及二項式系數最大的項的問題，

②有關組合等式的證明。

復習結束后，布置下面一組題作為本節(jié)的檢查題：

(王錫澤)

平行直線教案設計

【教學目的】

1.使學生掌握空間兩條直線平行的判定及其應用。

2.使學生掌握平行線的性質及應用。

【教學重點和難點】教學重點是空間二直線平行的判定和性質。

難點是二直線平行的判定和性質的應用。

【教學過程】

一、新課引入

通過上一節(jié)課的學習，我們已經知道：在圖1-26所示的正方體A1B1C1D1 ABCD中，AB∥C1D1，A1C和BD1相交。

但對這些結論的正確性沒有給出證明。這節(jié)課就來解決這個問題。

二、新課

請學生閱讀課本上的平行線公理"平行于同一直線的兩條直線互相平

行。"的有關敘述，并思考思考題(Ⅰ)：

1.給出圖1-26中AB∥C1D1和A1C和BD1相交的證明。

2.把一張長方形的紙對折兩次，打開后如圖1-27所示，那么折痕間是

怎樣的位置關系?為什么?

3.已知：四邊形ABCD是空間四邊形(四個頂點不共面的四邊形，E、H

分別是邊AB、AD的中點，F、G分別是邊CB、CD上的點，且。求證：四邊形

EFGH是梯形。

閱讀思考后，請一位學生板演

第3題。其他學生在讀議小組內議論思考題(Ⅰ)并對板演作評論。議

論后全班進行交流。在這基礎上教師作補充講評：

1.平行線公理描述了平行線之間的傳遞性，即若a∥b，b∥c，則有a∥c。

這種傳遞性不受線段數目的限制，可以進行多次傳遞。

2.判斷兩條直線平行的基本方法是尋找分別與這兩條直線平行的第三條

直線，再利用平行線的傳遞性就能證得這兩直線平行。例如：

又如思考題(Ⅰ)的第2題，由于每個矩形對邊是平行的，所以由平行

線的傳遞性可得知各折痕是平行。

3.畫空間四邊形時，一般可先畫一個三角形BCD，再在△BCD外取一點A，

然后連接AB、AD即得，如圖1-28所示。事實上，空間四邊形也可看成是由

不在同一平面的兩個三角形拼成的。

思考題(Ⅰ)的第3題的圖可畫成圖1-28，在△ABD中由中位線定理得

EH∥BD；又在△CBD中，由平行線截比例線段定理的逆定理得FG∥BD。再由

平行線的傳遞性得EH∥FG，所以EFGH是梯形。

下面再來討論平行線的性質。讓學生閱讀課本上等角定理(即如果一個

角的兩邊和另一角的兩邊分邊平行并且方向相同，那么這兩個角相等)的論

證和推論。

閱讀要求是：

(1)理解定理條件、結論，學會定理證明方法。

(2)會應用該定理。為此，閱讀時思考思考題(Ⅱ)：

1.已知：AA'、BB'、CC'不共面，且BB'AA'，CC'AA'(如圖129所示)，求證△ABC≌△A'B'C'

2.在長方體A1B1C1D1ABCD中

(圖1-30)，求證∠D1AC=∠BC1A1。

閱讀思考后請兩位學生上黑板板演，其他學生在讀議小組中議論思考題

并對板演的論證過程和書寫進行評論。教師可根據學生的議論和板演進行糾

正和補充講解：

1.等角定理條件中所提及的方向是指以角頂為出發(fā)點而言的。

如圖1-31中，AC和A'C'是方向相同的，它們的方向都是以角頂為出

發(fā)點向右方。

而A'C'和AD就是反方向了，因為A'C'是由角頂出發(fā)向右，而AD

是由角頂出發(fā)向左。

把等角定理中的條件改成："角的兩邊分別平行并且方向相反"，那么

定理結論仍成立。

應用它能證明思考題(Ⅱ)的第2題：

因為AB∥A1B1∥=C1D1，所以，ABC1D1是平行四邊形，故AD1∥BC1。

同理可證得AC∥A1C1。

由等角定理得∠D1AC=∠BC1A1。

如果把等角定理中的條件改為："角的兩邊分別平行并且一組邊方向相

同而另一組邊方向相反"，則結論將為："兩角相補"。這是由等角定理直

接可推得的(見圖1-31)。

由于上述分析和角的兩邊可反向延長的特點可得到等角定理的推論：如

果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角(或

直角)相等。

2.等角定理的證明

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